在电视剧《流金岁月》中，蒋南孙还清债务的情节主要通过以下方式实现：

用父亲遗产偿还债务

蒋南孙的父亲因炒股欠下巨额债务，临终前将家产耗尽并自杀。蒋南孙在父亲遗产不足以偿还债务的情况下，仍选择主动承担还款责任。她利用父亲留下的房产等遗产，逐步偿还了债务。

法律层面的责任界定

根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条，继承人需在继承的遗产价值范围内偿还债务。若继承人放弃继承，则无需承担债务。蒋南孙自愿偿还债务的行为属于权利自治范畴，法律未设限。但需注意，她父亲生前未留下可继承的遗产（如房产已出售），因此她个人并不直接承担债务，而是通过遗产清偿。

剧情中的关键细节

- 蒋南孙与奶奶、朱锁锁共同搬入父亲房产，居住五年零十个月；

- 债主最终接受偿还本金，但蒋南孙未留下遗产，债务实际由奶奶承担；

- 该剧对“父债子偿”进行了法律层面的阐释，强调继承人自主决定偿还范围。

综上，蒋南孙通过继承父亲遗产并主动偿还债务，最终解决了家庭债务问题，同时展现了她对家庭责任的担当。