洛希极限的公式推导如下：

假设条件

两个天体之间的质量差距非常大。

物体仅由万有引力凝聚而成。

忽略其他因素如潮汐变形及自转。

公式推导

对于一个完全刚体、圆球形的卫星，假设其物质都是因为引力才合在一起的，且所环绕的行星亦是圆球形。

考虑卫星表面的最接近行星的细质量，有两股力作用在上：卫星的引力和行星的引力。

基于卫星在行星引力场内自由降落，潮汐力不过是行星引力同义词。

设卫星和行星中心的距离为 $r$，行星半径为 $R$，行星作用在卫星上的引力为 $F_G$，卫星和行星的密度分别为 $\rho_M$ 和 $\rho_m$。

刚体洛希极限公式

$$

d = R \left( \frac{\rho_M}{\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}}

$$

流体洛希极限公式

如果被撕碎物体为气体、液体或者非常松散的固体，这个倍数就是 2.455。

如果被撕碎物体是很坚硬的固体，这个倍数就是 1.26。

推导过程

假设卫星刚好在洛希极限，即 $r = d$。

由此即可计出洛希极限的距离 $d$。

考虑潮汐力

对于流体卫星，潮汐力会拉长它，令它变得更易碎裂。

由于有黏度、摩擦力、化学键等影响，大部分卫星都不是完全流体或刚体，其洛希极限都在这两个界限之间。

综上所述，洛希极限的公式推导主要基于万有引力定律和潮汐力的影响。对于刚体卫星，洛希极限的距离 $d$ 可以通过公式 $d = R \left（ \frac{\rho_M}{\rho_m} \right）^{\frac{1}{3}}$ 计算得到。对于流体卫星，洛希极限的距离则需要考虑潮汐力的影响，使用不同的倍数进行计算。