关于圆锥曲线的伸缩变换公式，综合搜索结果整理如下：

一、伸缩变换公式

坐标伸缩变换

将坐标 $（x, y）$ 进行伸缩变换：

$$

\begin{cases}

x' = \frac{1}{a}x \\

y' = \frac{1}{b}y

\end{cases}

$$

其中 $a$ 和 $b$ 为伸缩系数。该变换可将一般圆锥曲线方程转换为标准形式。

具体应用示例

例如，将椭圆 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 通过伸缩变换 $\phi: x' = \frac{1}{3}x, y' = \frac{1}{2}y$ 转换为标准圆方程 $x'^2 + y'^2 = 1$。

二、离心率计算

通过伸缩变换后，椭圆的标准方程为 $\frac{x'^2}{a'^2} + \frac{y'^2}{b'^2} = 1$，离心率 $e$ 计算公式为：

$$

e = \sqrt{1 - \frac{b'^2}{a'^2}}

$$

例如，将 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ 伸缩后，$a' = 1, b' = \frac{2}{3}$，则离心率 $e = \sqrt{1 - \left（\frac{2}{3}\right）^2} = \frac{\sqrt{5}}{3}$。

三、其他相关公式

椭圆焦点性质

焦半径公式：$PF_1 = a + ex_0, PF_2 = a - ex_0$（$F_1, F_2$ 为焦点，$x_0$ 为点 $P$ 的横坐标）

通径长：$\frac{2b^2}{a}$

双曲线焦点性质

焦半径公式：$PF_1 = a + ex_0, PF_2 = a - ex_0$

焦点三角形面积：$S = \frac{b^2}{\tan（\theta/2）}$（$\theta$ 为 $\angle F_1PF_2$）

四、注意事项

伸缩变换需结合具体曲线类型调整公式中的参数（如椭圆的 $a, b$）

变换后需重新验证曲线的几何性质（如离心率、焦点位置等）

以上公式和性质综合了椭圆、双曲线等常见圆锥曲线的标准形式与几何特征，建议结合具体问题灵活运用。