恒成立是数学中描述函数或不等式在特定区间或集合内始终成立的概念。具体含义和应用如下：

一、核心定义

当变量 $x$ 在某一区间或集合 $U$ 内任意取值时，关于 $x$ 的代数式 $f（x）$ 总是满足大于等于零（≥0）或小于零（≤0），则称该函数或不等式在该区间内 恒成立。例如：

$f（x） = x^2 \geq 0$ 对所有实数 $x$ 恒成立；

$ax^2 + bx + 1 \geq 0$ 对所有 $x$ 恒成立的条件是判别式 $\Delta \leq 0$。

二、关键性质

普遍性：

恒成立的条件必须对区间内所有可能的 $x$ 都适用，而非部分值；

不变性：

若 $f（x）$ 恒成立，则其导数 $f'（x）$ 在该区间内保持同号（单调性）；

应用价值：

常用于确定未知数的取值范围或解集，例如求参数范围使不等式恒成立。

三、典型应用场景

参数范围求解

例如，求 $a, b$ 使 $ax^2 + bx + 1 \geq 0$ 对所有 $x$ 恒成立，需满足 $\Delta = b^2 - 4a \leq 0$；

不等式证明

证明 $（x-1）^2 + |y-2| = 0$ 恒成立，需结合非负性分析，得出 $x=1$ 且 $y=2$；

函数性质分析

通过恒成立条件判断函数的单调性或极值，例如 $f（x） = e^x + x$ 在实数域恒大于零，说明其值域为 $（0, +\infty）$。

四、注意事项

恒成立与“恒等式”不同，后者指对所有变量取值都相等的式子（如 $\sin^2a + \cos^2a = 1$）；

实际问题中需注意定义域的限制，例如对数函数的定义域要求输入大于零。

通过以上分析可知，恒成立是数学分析中用于描述函数或不等式普遍适用性的重要概念，广泛应用于代数、微分方程及不等式证明等领域。